Внимание! Никому не рекомендую читать эту простыню. Она НЕИНТЕРЕСНАЯ!!! И приводится только как доказательство элементарных математических выкладок, опущенных мной в предыдущих сообщениях именно по причине из длины и занудности.
Байкалов Пётр писал(а):
ВадимП писал(а):В течение года умерла 1/66 часть населения России
Необходимо указать то, что распределение возрастов умирающих по шкале возрастов симметрично взвешено, иначе неверно.
ВадимП писал(а):Какова должна быть средняя продолжительность жизни родившихся детей, чтобы средняя продолжительность жизни всего населения России увеличилась на 1 год? После элементарных подсчетов получаем - ровно в 2 раза больше средней продолжительности жизни в год их рождения.
Прошу перечислить посылки, которые отнюдь неочевидны.
ВадимП писал(а):После элементарных подсчетов получаем - ровно в 2 раза больше средней продолжительности жизни в год их рождения.
Я бы всё-таки уточнил, после каких именно.
Начнем с вопроса о средней продолжительности жизни людей в любой заданный момент времени. Для простоты возьмем 0 часов 1 января 2011 года.
Примем число всех живых граждан России на этот момент за n. Точное значение нам неизвестно, но оно нам и не потребуется - эта величина в результате расчетов сократится.
Возьмем множество мощностью n элементов, {x(1), x(2)...x(n)} где x(i) - реальная продолжительность жизни i-того человека.
Средняя продолжительность жизни равна (сумме по i от 1 до n всех x(i))/n.
Это, как прекрасно понимают все уважаемые участники форума, всего лишь определение средней продолжительности жизни как среднего арифметического продолжительностей жизни каждого члена популяции. Формула очевидная, хотя и казалось бы бесполезная - абсолютно все входящие в неё величины нам неизвестны.
Однако мы знаем, что, по утверждению Дарта, средняя продолжительность жизни в 2011 году была на год меньше, чем в 2012-ом и, следовательно, если поверить Путину и принять подолжительность жизни 1 января 2012 года за 70 лет, значит 1 января 2011 года она была 69 лет.
То есть, (x(1)+x(2)+...x(n))/n = 69.
Теперь посмотрим ситуацию на 1 января 2012 года. Для простоты примем численность населения России постоянной и не будем учитывать мигрантов (если отказаться от этих двух предположений, ситуация для Дарта станет только гораздо хуже, потому что тогда получим еще и сверхвысокую продолжительность жизни таджикских дворников).
За 2011 год умерло m членов популяции в среднем возрасте 69 лет и родилось m же детей.
Почему умершие члены популяции должны были иметь средний возраст именно 69 лет? Потому что они представляют собой репрезентативную выборку из множества n и, значит, с точностью в пределах среднеквадратичного отклонения {x(1)+x(2)+...+x(m)}/m={x(1)+x(2)+...+x(n)}/n. Это равенство нарушается только при одном условии - если выборка по возрастам умерших нерепрезентативна, то есть если имела место массовая гибель людей определенных возрастов. Например, во время большой войны (не забывайте, что m, само по себе достаточно большое число, превышающее 2,000,000, поэтому даже трагедия унесшая жизни десятков тысяч людей одного возраста изменит результат не более, чем на 1%).
Рассмотрим среднюю продолжительность жизни в 2012 году.
Она равна ({x(1)+x(2)+...+x(n-m)} + {y(1)+y(2)+...+y(m)})/n.
Где n - численность населения России (мы договорились, что она постоянна), все x(i) те же самые, что в предыдущем уравнении, а y(j) - продолжительность жизни каждого из детей родившихся за прошедший год.
Из постулата Путина-Дарта следует, что ({x(1)+x(2)+...+x(n-m)} + {y(1)+y(2)+...+y(m)})/n = 70
Умножим обе стороны уравнения для 2011 года на 70, а уравнения для 2012 года на 69.
Получим:
1) 70*(x(1)+x(2)+...x(n))/n = 69*70
2) 69*({x(1)+x(2)+...+x(n-m)} + {y(1)+y(2)+...+y(m)})/n = 69*70
Правые части уравнений равны, значит равны и левые.
70*(x(1)+x(2)+...x(n))/n = 69*({x(1)+x(2)+...+x(n-m)} + {y(1)+y(2)+...+y(m)})/n
Теперь наглядно видна справедливость утверждения, сделанного в самом начале лекции - нам незачем знать численность населения России (величину n) потому что равенство от неё совершенно не зависит. Умножим обе стороны равенства на n и она сократится.
Важное примечание: это уравнение перестает выполняться при граничных условиях n=0 (все умерли) и n=бесконечности (население России выросло настолько, что масса копошащихся тел заполнила собой всю вселенную)
Итак, продолжаем.
Перепишем левую часть уравнения в виде: 70*({x(1)+x(2)+...+x(n-m)}+{x(n-m+1)+x(n-m+2)+...x(n)}) = 69*({x(1)+x(2)+...+x(n-m)} + {y(1)+y(2)+...+y(m)})
Как легко видеть, мы просто разделили множество x(i) мощностью n на два подмножества - выписали отдельно всех, кто останется жив в 2012 году (их, очевидно будет n-m) и всех, кто в этом году умрет.
Теперь можно немного сократить уравнение:
{x(1)+x(2)+...+x(n-m)} + 70*{x(n-m+1)+x(n-m+2)+...x(n)} = 69*{y(1)+y(2)+...+y(m)}
В левой части видим два слагаемых. Первое из них представляет собой сумму продолжительности жизни всех людей, которые жили в 2011 году и живут в 2012. Про них мы знаем, что их средняя продолжительность жизни равна 69 годам.
То есть, {x(1)+x(2)+...+x(n-m)}/(n-m)=69. Второе слагаемое содержит сумму продолжительности жизни всех людей умерших в течение года. Их средняя продолжительность жизни тоже равна 69 лет: {x(n-m+1)+x(n-m+2)+...x(n)}/m=69
Преобразуем левую часть уравнения:
69*(n-m)+70*69*m = 69*{y(1)+y(2)+...+y(m)}
Разделим обе части уравнения на 69:
(n-m)+70*m={y(1)+y(2)+...+y(m)} или n+69*m = {y(1)+y(2)+...+y(m)}
Нас интересует средняя продолжительность жизни родившихся детей (обозначим её Y), которая, по определению равна среднему арифметическому продолжительности жизни каждого из них.
Y={y(1)+y(2)+...+y(m)}/m
Или, из предыдущего уравнения, Y= n/m + 69.
То есть, для того, чтобы продолжительность жизни ВСЕГО НАСЕЛЕНИЯ увеличилась за год на один год, средняя продолжительность жизни родившихся детей должна быть равна средней продолжительности жизни в прошлом году плюс величина обратная проценту смертности.
Чем ниже смертность - тем дольше должны прожить рожденные в 2011 году, чтобы уравнение выполнялось.
Исходя из того, что в среднем ежегодно умирает доля популяции обратная средней продолжительности жизни этой популяции, m=1/69*n и Y = 69+69=138.
То есть, математически необходим огромный скачок средней продолжительности жизни именно для детей, родившихся в этом году.
Причем, если в какой-то момент президент перестанет радовать нас перлами о невероятном росте средней продолжительности жизни, значит с того момента все родившиеся дети вновь станут "короткоживущими". Жизнь длиной в полторы сотни лет будет светить только детям строго определенного года рождения. Вот им повезло, правда?
